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2020年国考行测数量关系备考之插板法

2019-08-06 09:51:21 公务员考试网 文章来源:华图教育

今天我们这篇文章主要来讲排列组合的解题法宝之一的插板法,下边我们一起来看一下什么是插板法。

基本题型

基本题型为:n个相同元素,不同个m组,每组至少有一个元素;则只需在 n 个元素的n-1 个间隙中放置 m-1 块隔板把它隔成 m 份,求共有多少种不同方法?

其解题思路为:将 n 个相同的元素排成一行, n 个元素之间出现了( n-1 )个空档,现在我们用( m-1 )个 “档板 ”插入( n-1 )个空档中,就把 n 个元素隔成有序的 m 份,每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素(可能是 1 个、2 个、 3 个、 4 个、 ….),这样不同的插入办法就对应着 n 个相同的元素分到 m 组的一种分法,这种借助于这样的虚拟 “档板 ”分配元素的方法称之为插板法。

例题:共有 10 完全相同的球分到 7 个班里,每个班至少要分到一个球,问有几种不同分法?

解析:我们可以将 10 个相同的球排成一行, 10 个球之间出现了 9 个空隙,现在我们用 6 个档板 ”插入这 9个空隙中,就 “把 10 个球隔成有序的 7 份,每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个球(可能是 1 个、2 个、 3 个、 4 个),这样,借助于虚拟 “档板 ”就可以把 10 个球分到了 7 个班中。

基本题型的变形

(1)变形1:有 n 个相同的元素,要求分到 m 组中,问有多少种不同的分法?

解题思路:这种问题是允许有些组中分到的元素为 “0”,也就是组中可以为空的。对于这样的题,我们就首先将每组都填上 1 个,这样所要元素总数就 m 个,问题也就是转变成将( n+m )个元素分到 m 组,并且每组至少分到一个的问题,也就可以用插板法来解决。

例题:有 8 个相同的球放到三个不同的盒子里,共有( )种不同方法 。

解答:题目允许盒子有空,则需要每个组添加 1 个,则球的总数为 8+3 ×1=11,此题就有 C(10 ,2) =45(种)分法了。

(2)变形2:有 n 个相同的元素,要求分到 m 组,要求各组中分到的元素至少某个确定值 S( s>1,且每组的 s值可以不同) ,问有多少种不同的分法?

解题思路: 这种问题是要求组中分到的元素不能少某个确定值 s,各组分到的不是至少为一个了。 对于这样的题,我们就首先将各组都填满,即各组就填上对应的确定值 s 那么多个,这样就满足了题目中要求的最起码的条件,之后我们再分剩下的球。这样这个问题就转变为上面提到的变形1的问题了,也就可以用插板法来解决。

例题:15 个相同的球放入编号为 1、2、 3 的盒子内,盒内球数不少于编号数,有几种不同的放法?

解析:编号 1:至少 1 个,符合要求;

编号 2:至少 2 个:需预先添加 1 个球,则总数 -1 ;

编号 3:至少 3 个,需预先添加 2 个,才能满足条件,后面添加一个,则总数 -2 ;

则球总数 15-1-2=12 个放进 3 个盒子里,所以 C(11,2)=55 (种)。

通过上面的例题,我们可以看到在排列组合题其实是有方法及步骤可循的,只要大家能够牢记做题步骤即可快速作出答案。望大家能够熟练掌握,在考场做到快速解题。

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